Redundante Darstellung mit Rahmen
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Abstract:
In wichtiger Teil der Signalverarbeitung sind Zeit-Frequenz-Darstellungen. Für praktische Zwecke ist es notwendig, diskrete Darstellungen zu betrachten, um Implementierungen zu ermöglichen. Ein Beispiel einer solchen Darstellung ist jene mittels einer Orthonormalbasis, wie zum Beispiel bei den Fourier-Koeffizienten. Obwohl Basen in vielen Situationen herangezogen werden, sind diese oft nicht optimal, da sie empfindlich gegenüber Störungen sind, weil sie keine Redundanz aufweisen, sodass im Falle eines auftretenden Informationsverlusts das ursprüngliche Signal nicht mehr rekonstruiert werden kann. Daher wird oft eine Zeit-Frequenz-Darstellung verwendet, die mehr Datenpunkte besitzt als die Originaldaten (Überlappung). Eine solche Darstellung beruht somit nicht mehr auf der Theorie der orthonormalen Basen, sondern auf jener der Rahmen (engl. Frames).In diesem Vortrag gehen wir auf die oben genannte Idee näher ein und zeigen, warum Redundanz auf ganz natürliche Weise in der Signalverarbeitung auftritt. Damit einhergehend wird das Konzept der Rahmen motiviert, welches den Begriff der Orthonormalbasis erweitert. Wir fassen die grundlegenden Eigenschaften von Rahmen zusammen und gehen insbesondere auch auf die für Anwendungen wichtigen Aspekte Stabilität und garantierte, perfekte Rekonstruktion ein. Wir zeigen die Vorteile von Redundanz und der damit einhergehenden Theorie der Rahmen und demonstrieren, wie dieser allgemeine Überbau in der Toolbox LTFAT abgebildet ist.